第五章 生活中的轴对称

学情分析

七年级学生刚刚接触平面几何,独立分析、解决问题的能力较低，但具有较强的自我发展意识，对有”挑战性”的任务很感兴趣，喜欢用不同的方法解决问题。这使得我们在学习素材的选取与呈现，以及学习活动的安排上，除了关注数学与现实生活的紧密结合外，还应注重创设多角度思考问题的机会，使学生经历在“做中学、学中得”的探究过程，更深一层体会数学学习的重要性，并从中得到锻炼，进一步增强自身的数学修养。

此外，此年龄段的学生独立意识、表现欲望较为强烈，因此在教学内容的安排中应适当创设一些具有一定难度的问题，将自主探索与合作交流紧密结合，促使学生在探究的过程中获得更多成功的体验。

教学目标

1、了解轴对称的概念，探索轴对称的基本性质；

2、能按照要求画出一些轴对称图形；

3、探索线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质；

4、认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣；

5、积累探究图形性质的活动经验，发展空间观念。

主要教学手段及相关准备

微视频、多媒体课件、知识框架概念图、导学案

教学设计策略

依据教学目标和学生的特点,遵循探究式的理念，引领学生“做中学，学中得”，利用微视频启发学生思考，通过导学案完成小组探究活动，得出基本概念，并能够利用根据自己的理解画出本章的知识框架概念图。

1. 轴对称现象

本节说明

北师大版数学七年级下第五章共分4节，本节《轴对称现象》是第一节 ，它在本章中起着起始新课的作用。本节通过大量的生动的生活中的实例引领学生进入图形中的对称世界，深刻体会对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。同时通过本节的学习与探索，使同学们对对称的认识由感性到理性，由浅到深，为后面抽象的对称图形的学习作好铺垫工作。

学情分析

学生的知识技能基础：在小学时已经学习轴对称图形只不过是没有去研究轴对称图形的性质。学生在七年级上就对对称图形有所接触，如：扇形，圆，线段，角等，所以当今天学习了什么样的图形是对称图形时，学生识别起来应该顺理成章，在对对称定义的理解和应用上也应有水到渠成的感觉。只是在轴对称图形和两个图形成轴对称的概念上可能会产生一些模糊，这是教学中应该突破的地方。

学生生活经验基础：对称现象及对称图形在生活中存在大量实例，因此，对称对于学生来说应该不陌生，理解起来也应不困难。

教学目标

1、经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程，进一步积累数学活动经验和发展空间观念。

2、理解轴对称图形和成轴对称的图形的意义，能够识别这些图形并能指出它们的对称轴，并了解轴对称和轴对称图形的区别和联系。

3、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值

教学重点

通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析，认识成轴对称的图形和轴对称图形，会找出简单的轴对称图形的对称轴。

教学难点

找出简单轴对称图形的对称轴与理解成轴对称的图形和轴对称图形的联系与区别。

教学设计

第一环节 课前准备

活动内容：学生收集与对称相关的图片和实物（提前一周布置）

活动目的：通过收集整理与对称相关的图片和实物，使同学们先对对称有一个整体的感性认识，并且初步了解对称在生活中大量存在，理解学习对称的必要性。

实际教学效果：通过分组合作，不同小组以不同的主题在课前进行收集和整理轴对称的图形（教育领域、科技领域、生活领域、人文领域等），每位成员按主题整理好后，小组课前抽空进行讨论，明确哪些是轴对称图形，并在上课的时候展示出（以图片的形式呈现，可以拍照，也可网上寻找相关主题图片），能让同学们充分感受到数学是对自然的浓缩与抽象，体会数学来源于生活；极大地激发同学们学习数学的兴趣和热情，同时也展现了同学们小组合作的团队精神。

第二环节 情境引入

活动内容：微视频呈现出富有美感的轴对称图形，主要为生活实际类的轴对称图形（课堂导入型微课），最后以ppt的形式呈现出课前学生分组收集的轴对称图形，并找出哪些组找的不是轴对称图形，画出你认为是轴对称图形的对称轴；哪些组找的是成轴对称的图形这两个问题。

活动目的：通过欣赏生活中的轴对称图形，带给学生直观感受的同时，也激发了学生学习本节知识的兴趣，对于课前分组收集的结果，教师进行展示，并引导学生回答问题，发现学生针对该知识点易混淆的内容，并在课堂教学中予以重点讲解。

实际教学效果：大部分学生在课前进行收集及小组合作讨论的时候已经在不断的探究轴对称图形的概念了，并能直观的区别不是轴对称的图形来，但是针对一些图形画出对应的对称轴的时候，部分同学不能够全部画出，有漏画的现象，说明对于概念的掌握还存在一定的不足。

第三环节 小组合作

活动内容：微视频（乐乐课堂或洋葱课堂）呈现轴对称图形的定义及成轴对称图形的区别。（讲授型微课）教师根据上个环节学生的问题，针对性的强调一个轴对称图形的对称轴可能不止一条，需要考虑完整性等，并通过小组合作的形式，让组内学生进行补充和完善；同样针对两个图形成轴对称的概念及两个图形的对称轴，纠正上个环节的区分，通过对两个概念的认识，完成下面的表格。学生完成表格的情况能明显看出对这两个知识点的区分，也是课前老师所掌握到的学生薄弱之处。再通过小组合作将这两个知识点理解透彻。

活动目的：学生通过微视频中概念的学习，了解自己理解概念的不足，并通过对概念的重新理解完成上环节遗漏掉的问题，可重塑对本概念理解的认知。

实际教学效果：通过微视频的学习，认识到了概念的意义，纠正自己漏找的对称轴。

第四环节 练习提高

活动内容：通过课后的练习题，强化知识的掌握情况。教师布置练习题的顺序应该遵循由浅入深，由感性到理性，先是找出对应生活实际的轴对称图形；再找出他们的对称轴；再对比一些抽象图形找出其中的轴对称图形；再找出他们的对称轴等等。

活动目的：本环节的意义在于不断练习的基础上突破重难点，理解概念的内涵加外延。

实际教学效果：实际课堂生成中，大部分的学生对基本概念的判断都已经掌握，但是并不能找出所有轴对称图形的对称轴，这点需要老师进行点拨。

1．下面图形是轴对称图形的有（ ）

A．角 B．线段 C．太极图 D．香港特别行政区区旗上的紫荆花 E．等腰三角形 F．五角星

2. 观察下面图形，哪些图形是轴对称图形，如果是，请找出它的对称轴。

3．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）

4．找出下文中成轴对称的文字：

一叶孤舟，坐着两三个骚客，启用四桨五帆

经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。

十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，

苦读五经四书，考了三番两次，今天一定要中.

5. 指出下面的图形是轴对称图形还是两个图形成轴对称？并画出它们的对称轴。

第五环节 课堂小结

活动内容：师生共同交流，总结本节收获——从实际到理论。

活动目的：鼓励学生自己动手，提高获取知识的能力，加强同学们之间的团队合作意识和精神 。

实际教学效果：教学相长，共同进步，提高了同学们的学习主动性，也再次认识到教师在教学中的“导和授”的作用。

1．如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 。

2．对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能 ，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是 。

3．轴对称是指两个图形之间的 和 关系。而轴对称图形是对一个图形而言，轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。它们都有沿某条直线对折使直线两旁的图形能……的特征。

2. 探索轴对称的性质

本节说明

北师大版数学七年级下第五章共分4节，本节《探索轴对称的性质》是第二节，它在本章中起着承上启下的作用。本节通过动手探究实践，理解轴对称的性质，以及根据轴对称的性质进行作图。学习本节内容不仅仅是“图形变换”的认识，而且为后续学习平行四边形等的研究做了知识和工具储备；为综合运用几种变换（平移，旋转，轴对称，相似等）进行图案设计打下基础，并为第四节《利用轴对称进行设计》进行铺垫，具有承上启下的作用。

学情分析

在本章前面一节课中，学生已经认识了轴对称现象，学习了轴对称的概念，加强了对图形的理解和认识，为接下来的学习奠定了知识和技能基础。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些认识轴对称以及轴对称图形的活动，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力和探究的学习能力。

教学目标

1、经历探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验，发展空间观念。

2、理解轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

教学重点

理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”的性质

教学难点

运用轴对称的性质

教学设计

第一环节 创设情境

活动内容：因为本节要探索轴对称的性质，并利用性质进行作图，创设的情境需要能激发出学生们学习本节的兴趣，并为探索性质和后续自主画图做铺垫。

活动目的：本环节只是为了激发兴趣，需要参考第一节已经通过微课展示了各种轴对称图形等信息，此次的情境创设可采用其他的方法。

实际教学效果：引发学生们的兴趣，跟随课堂进行自主探究和小组合作，进一步探索。

下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题，请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形。

第二环节 启发思考

1、扎纸游戏：把自己用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平。

回答几个问题：

（1）图中的两个“14”有什么关系？

（2）在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重合。设折痕所在直线为l，连接点E与点E′的线段与直线l有什么关系？点F与点F′呢？

（3）线段AB与线段A′B′有什么关系？CD与C′D′呢？

（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由。

2、做一做：探索飞机的“奥秘”。

观察图示的飞机，从这个轴对称图形中：

（1）找出它的对称轴。

（2）连接点A与点A′的线段被对称轴平分吗？与对称轴互相垂直吗？连接点B与点B′的线段呢？

（3）线段AD与线段A′D′是否相等？线段BC与线段B′C′呢？为什么？

（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由。

活动内容：该自主探究环节的内容均来源于课本的典型例题和练习，通过学生自主操作，回答4个问题，渐渐揭露出轴对称图形对应点、对应线段、对应角的关系。教师应该提供表格，学生进行填空回答问题，有意识的让学生提炼框架，继而完成表格内容。

活动目的：自主探究发现性质。

实际教学效果：能回答出四个问题，但是还不能自行提炼出轴对称的性质。

第三环节 自主探究

活动内容：此环节根据一条对称轴，画出已知图形对应的轴对称图形，能够正确画出需要学生对性质掌握。

活动目的：检验对轴对称性质的掌握情况。

实际效果：虽知晓性质，但是部分学生不会根据性质进行作图，画图时没有运用最简单的原则，可以标记点或线段，以最少的标记方式画出对称图形。

第四环节 归纳总结

活动内容：此环节嵌入微视频的内容（乐乐课堂或洋葱课堂），直观的展示轴对称的性质，并对应三个点一一说明：对应点、对应线段、对应角等。（讲授型微课，解决重难点）

活动目的：本节借助微视频巩固性质，同时总结作图的方法。

实际效果：学生对于性质掌握的更好，能够根据已知对称轴画出对应的轴对称图形。

轴对称的性质：

（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

（2）对应线段相等，对应角相等。

第五环节 巩固练习

1．对下列的轴对称图形找出一组对应点、对应线段、对应角。

2．课本P199习题：1，2。

3、利用轴对称性质，在练习本上任意画出一个△ABC，在△ABC一侧画出直线EF，然后画出△A′B′C′，使得两个三角形关于直线EF对称。

第六环节 拓展练习

活动内容：本环节的内容主要是为了巩固轴对称的性质，并能利用性质进行简单的应用，培养将知识点应用到实际生活中的能力

活动目的：除了培养将知识点应用到实际生活中的能力，还可以为第四节轴对称图形的设计做好准备。

实际效果：部分同学的应用能力有待提高，并且激发学生联系实际生活中如何利用轴对称进行解决。

1．A村外的B造纸厂附近有一条小河。某天B厂发生火灾，村民从村里跑到小河边打水，再到B厂浇灭大火，村长需要设计一条最短路线，才能减小损失。请您帮忙设计。

2．用一个圆、一个正三角形、一条线段设计一个轴对称图案，并说明你要表达的含义。

3. 简单的轴对称图形(第一课时)

本节说明

北师大版数学七年级下第五章共分4节，本节《简单的轴对称图形》是第三节，了解了轴对称现象，知道了轴对称性质以外，还需要从简单的图形入手进一步的了解常见的轴对称图形，生活中最常见的就是等腰三角形，本节就从等腰三角形开始讲解。

学情分析

学生的知识能力基础：在前面一节课中，学习了线段和角等基本的轴对称图形及其相关性质，对轴对称和轴对称图形的概念有了进一步的理解，初步具备了动手操作的基本技能和观察、分析、归纳、概括、应用等一般能力。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些折纸活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

教学目标

1、知识及技能

（1）探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。

（2）应用等腰三角形的性质解决一些相关问题

2、过程与方法

（1）经历探索等腰三角形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。

（2）在学习中养成善于观察的习惯，从不同的情景中，通过观察、分析、归纳、概括、应用，学会学习。

3、情感、态度与价值观

（1）培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。

（2）通过小组折叠合作活动，培养学生合作学习的意识和研究探索的精神。

教学重点

探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。

教学难点

运用等腰三角形的性质解决一些实际问题。

教学设计

第一环节 知识回顾

活动内容：通过微视频的方式呈现的各种图形（其中包括第一节中展示的生活中的图形+前两节中学生易混淆的轴对称图形，并建议分层级展示，看同学们的掌握情况）（课堂导入型微课），学生判断是不是轴对称图形，并找出对称轴？可以通过小组比拼的方式，看看哪个组找的既快又准。

活动目的：通过问题，希望学生能回忆起前两节所学内容，培养学生善于观察图形、乐于探索研究的学习品质及全面思考的能力。

实际教学效果：学生大部分能够准确而全面的找出对称轴，并能说出部分图标的标志名称。以生活中的实例入题，大大提高了学生的学习兴趣，也由此告知学生数学来源于生活的道理。

注意事项：本节涉及的有关现实中的轴对称图形可以根据实际适时调整，如脸谱，佛山剪纸、生活中的建筑等，使学生能够用轴对称的观点来揭示现实世界中与图形有关的现象，同时能够欣赏现实世界中蕴涵的有关轴对称的图案。

第二环节 创设情境 导入新课

活动内容：

1. 用生活中的实例介绍等腰三角形的概念及各部分名称。可用ppt展示出生活中含有等腰三角形的建筑物图片，给学生们呈现最直观的现象。如艾菲尔铁塔、埃及金字塔等。

2. 认识等腰三角形。从生活实例逐渐过渡到数学中的等腰三角形的三种形状，包括锐角、钝角、直角形状的图形。

活动目的：牢固而扎实的掌握等腰三角形的有关概念，尤其是等腰三角形的形状的分类，对于解决有关计算中多值问题大有助益，另外，等腰三角形的概念实际上也是它的一个有用性质，无论是在计算还是证明中都有很大的作用。

实际教学效果：学生在一个开放的环境下展示、接触生活中的等腰三角形，从中获取了信息，感受生活中的事例。而且讲解中图形生动形象，使概念的获取更加全面。

注意事项：学生可能在回答问题时表现出差异，有的学生可能在分析等腰三角形特点的基础上直接想象出它的对称轴，有的学生可能需要借助折叠等活动寻找出对称轴，教师要鼓励学生进行充分的交流，注重操作和思考的有机结合。对于通过想象解决问题的学生，鼓励他们通过操作进行验证，对于通过操作得出结论的学生，鼓励他们重新观察等腰三角形的轴对称性。

第三环节 动手操作 探求新知

活动内容：

等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？

1.思考

思考内容提供表格的形式，学生边进行思考，边完成表格，不确定的空着或做标记。

（1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。

（2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

（3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？

（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？

2.归纳

教师公布答案，学生参照检查对等腰三角形对称轴的理解

(1)等腰三角形是轴对称图形。

(2)∠B =∠C

(3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线

(4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高

(5)BD=CD，AD为底边上的中线。

教师引导学生画出等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边上的高，并引导学生发现这三条线的特点，引导学生总结以下的结论：

等腰三角形的特征：

1）.等腰三角形是轴对称图形

2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

3）.等腰三角形的两个底角相等。

3.推理

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合

（也称为“三线合一”）.

证明 ：因为AD是角平分线,

所以 ∠BAD= ∠ CAD

在ΔABD和ΔACD中,

因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD

所以 ΔABD ≌ ΔACD

所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚

所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。

活动目的：探索等腰三角形的轴对称性及其有关性质，教学时，可以让学生先动手折一折等腰三角形纸片，自己发现有哪些结论。然后通过教师的引导得出结论，并由此归纳现象，探索等腰三角形的有关特征。

实际教学效果：

（1）学生可能在回答此问题时表现出差异，有的学生可能从分析等腰三角形特点的基础上直接想象出它的对称轴，有的学生可能需要借助折叠等活动寻找出对称轴，教师要鼓励学生进行充分的交流，注重操作和思考的有机结合，对于通过想象解决问题的学生，鼓励他们通过操作进行验证，对于通过操作得出结论的学生，鼓励他们重新观察等腰三角形的轴对称性。

对于对称轴的描述，学生可能有不同的回答，有的学生可能回答是顶角平分线所在直线，有的学生可能回答是底边上的中线或高所在直线，教师此时提出问题：“你们所说的是同一条直线吗？”引出下两题的讨论。

（2）鼓励学生在操作中尽可能多的探索等腰三角形的特征，并尽量运用自己的语言说明理由，既可以根据折叠过程中某些线段或角重合说明，也可以用全等来说明。对于学生可能探索出来的结论，应鼓励交流，但对于全体学生而言，只要求掌握教科书中列出的特征。

第四环节 知识延伸

活动内容：

教师引导学生猜想等边三角形的以下两个问题

1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？

2. 你能发现等边三角形的哪些特征？

活动目的：教师应鼓励学生通过操作和思考分析等边三角性的轴对称性，并尽可能多的探索它的特征。

实际教学效果：学生可能运用不同的办法解决这个问题，有的学生可能借助操作，有的学生可能通过等边三角形的特殊性由等腰三角形的性质推知它的特征。教师应鼓励学生进行充分的交流。

第五环节 知识逆用

活动内容：你有哪些方法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流。

1. 折纸：将长方形纸片对折，沿对角线折叠，再沿折痕展开。

2. 利用圆规

活动目的：以动手操作的形式得出一个等腰三角形，鼓励学生充分的进行交流，充分利用等腰三角形的特征，逆向思维，达到学以致用的目的。同时充分体现了数学来源于生活，同时也更好的服务于生活的理念。

第六环节 练习与提高

活动内容：以小组竞赛的方式做习题：

1.在等腰ΔABC中，AB=AC顶角∠A=100°那么底角∠B=_______∠C =_______

2.在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么∠A=______

3. 在等腰三角形△ABC中，有一个角为50°，那么另外两个角分别是多少？

4.如图，在△ABC中，AB=AC时，

(1)因为AD⊥BC

所以∠ ____= ∠_____;____=____  

(2) 因为AD是中线

所以____⊥____; ∠_____=∠_____

(3) 因为 AD是角平分线

所以____ ⊥____;_____=____ 

小组竞赛试题：每一幅图画后面都有一道习题，选择一幅你喜欢的图画吧！

1 如果ΔABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）

A. 某一条边上的高。B. 某一条边上的中线。

C. 平分一角和这个角的对边的直线。D. 某一个角的平分线。

2、①若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另外两个内角为________。

②若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两个内角为______

3、①一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为________

②一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为________

4、已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰三角形的各边长。

5、拓展提高：

如图，P，Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。

活动目的：通过点击图片，得到习题，增加乐趣，调动积极性，增强参与意识，促进学生学习兴趣，习题以选择填空题为主，简单精练。

实际教学效果：知识点掌握牢固，课堂气氛热烈。

第七环节 课堂小结

活动内容：师生互相交流总结本节所学，等腰三角形的性质和等边三角形的性质，以及在习题中出现的解题方法。（表格的形式列出）

活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）

实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，在丰富的现实情景中，观察生活中的轴对称现象，体会了轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。

4. 简单的轴对称图形(第二课时)

本节说明

北师大版数学七年级下第五章共分4节，本节《简单的轴对称图形》是第三节中的第二课时，了解了轴对称现象，知道了轴对称性质以外，还需要从简单的图形入手进一步的了解常见的轴对称图形，生活中除了包括等腰三角形外（第一课时），本节介绍线段这个特殊的轴对称图形。

学情分析

学生的知识技能基础：学生在前面三节课上已经学习过生活中的轴对称图形，对轴对称图形的特点及对称轴有所了解，具备了动手操作的基本技能。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些折纸活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

教学目标

1、知识及技能

（1）探索并了解线段垂直平分线的有关性质。

（2）尺规作图。

（3）应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题。

2、过程与方法

在学习中养成善于观察的习惯，从不同的情景中，通过观察、分析、归纳、概括、应用，学会学习。

3、情感、态度与价值观

（1）培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。

（2）结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。

（3） 通过折叠活动，培养学生积极动手操作学习的意识和研究探索的精神。

教学重点

探索并掌握线段的垂直平分线的有关性质

教学难点

线段垂直平分线的有关性质的掌握和运用

教学设计

第一环节 知识回顾

活动内容：本节属于本章第三节的第二课时，主要从简单的轴对称图形中的等腰三角形过渡到本节中的线段这个特殊的轴对称图形，此环节可以由学生进行表格填写相应的性质，如什么是轴对称图形？什么是成轴对称图形？等腰三角形的性质等。

1、 什么是轴对称图形？

2．下列哪些是轴对称图形？

3. 等腰三角形是轴对称图形吗？

活动目的：本环节主要是为了在复习前三节的基础上，学习线段的轴对称特点及掌握线段垂直平分线的有关性质。

实际教学效果：大部分学生可以清楚的回忆和填写已经学习过的基本知识点，对于不能流畅回顾知识点的同学，建议观看微视频，在理清本章脉络的同时可以查漏不清楚的知识点（知识复习型微课）。

第二环节 创设问题情境，引入新知

师：等腰三角形式一个轴对称图形，那么等腰三角形的底边是一条线段，那么今天我们一起来探讨一下一般的线段是轴对称图形吗？

出示课题：《§5.32简单的轴对称图形——线段》

活动内容：从上节课的等腰三角形入手渐渐引出线段；

活动目的：从旧知引出新知，可以很容易的进一步学习；

实际教学效果：教师步步引导学生从等腰三角形开始探究线段的性质；

第三环节 探索研究

探索1：探索线段的对称性：

线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？

活动内容:

按下面的步骤做一做：

⑴在纸上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合，折痕与AB的交点为O；

⑵在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠；

⑶把纸张展开，得到折痕CA和CB．

问题思考：

⑴CO与AB具有怎样的位置关系？

⑵AO与BO相等吗？能说明你的理由吗？

实验结论：

（1）线段是轴对称图形，它的对称轴有两条：一条是线段AB本身所在的直线；另一条是直线CO，它垂直于AB又平分AB，称作AB的垂直平分线。

（2）线段垂直平分线的概念：垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线。

探索2：垂直平分线的性质

1. 另外两条折痕CA和CB相等吗？为什么？

2. 在折痕上找一个另外的点试试结论还成立吗？

（3）你能用一句话来概括你的结论吗？

实验结论：

线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．

探索3：尺规作图

活动内容：

师问：“你除了折叠以外还有什么办法得到线段的垂直平分线？

得出：（1）折叠（2）直角三角尺（3）尺规作图

如图，已知线段AB，请画出它的垂直平分线.

1. 学生首先进行自学，请学生回答找到作图的办法：利用三角尺、尺规作图。

2. 多媒体展示尺规作图的歩骤，学生按照步骤逐一完成

3. 师问：“为什么要取大于二分之一的AB长为半径？”通过学生的回答得出小于二分之一的AB长为半径时无交点，等于二分之一的AB长为半径时只有一个交点，上学期学过两点确定一条直线，因此要取大于二分之一的AB长为半径。

4. 各小组讨论：为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线？

第四环节 提高练习

活动内容：

1 如图：A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请给予说明理由。

A ●

B ● ● C

2.在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长．

3.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.

4. 如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.

5.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是 cm。

第五环节 课堂小结

活动内容：师生互相交流总结本节课的知识重点。

鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）包括垂直平分线的特点及性质，本课主要解决了以下两方面的问题：

⑴线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

⑵线段的垂直平分线的性质是什么？如何运用？

以及本节知识在实际问题中的应用及切身感受。

5. . 简单的轴对称图形(第三课时)

本节说明

北师大版数学七年级下第五章共分4节，本节《简单的轴对称图形》是第三节中的第三课时，了解了轴对称现象，知道了轴对称性质以外，也认识了等腰三角形和线段的轴对称性质，本节通过多次操作实践的研究活动，来引导学生自主探究角的轴对称性和角平分线的性质。

学情分析

学生在小学已经学习了简单的轴对称图形的有关知识，对轴对称图形已有一定的认识。根据七年级学生有好奇心、求知欲较强，学生间相互评价、相互提问的积极性高，有参与实践探究活动的要求，因此本节通过多次操作实践的研究活动，来引导学生自主探究角的轴对称性和角平分线的性质。由于学生对于观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。

教学目标

1、知识目标：

（1）掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。

（2）利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．

2、能力目标：

（1）在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。

（2）提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.

（3）初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.

3、情感目标：

（1）使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；

（2）在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

教学重点

探索并掌握角平分线的有关性质

教学难点

角平分线的有关性质的掌握和运用

教学设计

第一环节：动手操作，导入课题

活动内容：

[情境问题一]不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？（对折）再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？

学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。

教师与学生一起动手操作。展示学生作品。

活动目的：体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。

活动效果：通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间．

第二环节：动手操作，探求新知

1、[情境问题二] 对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？

有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？

教师课件展示实验过程，学生将实物图抽象出数学图形。

学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。

本次活动中，教师重点关注：

(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；

(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。

活动目的：说明用其他实验的方法可以将一个角平分。培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力，让学生体验成功。

活动效果：这个提问设置为角平分线的基本作图的出现做好铺垫，同时证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．

2、问题：

(1) 从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？

(2) 把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?

(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画

(4) OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?

(5) 你能说明OC是∠AOB的平分线吗?

(6) 归纳角平分线的作法

教师提问,学生与老师一起完成探究过程.

学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法。

活动目的：从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功。

活动效果：这个提问设置为角平分线的基本作图的出现做好铺垫，同时证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．

第三环节：猜想再实践，发展几何直觉。

[情境问题三] 将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕．

问题 1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？

问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？

学生动手剪纸，折叠，教师在多媒体上演示折叠过程．学生观察思考后，分组讨论、交流：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等．再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等）

教师归纳，引导学生结合图形写出已知、求证，分析后写出证明过程，并利用实物投影展示，强调定理的条件和作用．

活动目的：经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而把学生的直观体验上升到理性思维．

活动效果：从实验探索中发现角的平分线的性质，培养学生的数学抽象概括能力及理性精神，让学生体验成功。

第四环节：巩固基础，检测自我。

辨一辨：如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？

判断：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）∴BD = CD

（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴BD = CD

（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴BD = CD

练一练：1、如图，∵ OC是∠AOB的平分线， 又 ________________∴PD=PE ( )

2、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？

3、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.

4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？

活动目的：通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。

活动效果：本次活动中,教师重点关注：(1)不同层次的学生对角的平分线的性质的理解程度; (2)对学生在练习中的问题进行针对性的分析、讲解。

第五环节： 课堂小结，布置作业。

小结：我们这节课学习了那些知识？

小节让学生畅所欲言，从不同角度谈论本节课的收获。

活动目的：通过小结归纳，完善学生对知识的梳理

活动效果：加深对本节知识的掌握。

5. . 利用轴对称进行设计

本节说明

北师大版数学七年级下第五章共分4节，本节《利用轴对称进行设计》是第四节，了解了轴对称现象，知道了轴对称性质以外，也认识了等腰三角形、线段、角平分线等轴对称图形，本节就在学习了基本性质和作图方法之上进行轴对称图形的设计。

学情分析

学生的知识技能基础：学生在小学时，已经学习了轴对称图形的一些简单知识。了解了什么样的图形是轴对称图形及其对称轴的条数，能画出简单图形的对称轴及做出简单轴对称图形的另一半。在本章前面几节的学习中，比较系统地介绍了轴对称的定义、性质及线段、角等简单图形的轴对称性。特别是通过对轴对称的性质的探究，使学生了解了对称轴两侧的点、线、角之间的关系和特点，为本节课的学习奠定了理论基础。

学生活动经验基础：在前面的学习当中，学生通过大量的观察分析、总结归纳和动手操作，不但对轴对称的基本知识有了充分的理解，而且体验到了轴对称的美与和谐，感受到了轴对称与生活的广泛联系和丰富的文化价值。

教学目标

1.能按要求作出简单平面图形经轴对称后的图形。

2.欣赏现实生活中的轴对称图形，利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。

3.经历观察、分析、作图、折叠等过程，进一步发展空间观念，培养学生分析问题的能力和有条理的语言表达能力。

4.在自主探究与小组合作交流的过程中，培养学生的创新意识，激发学习数学的兴趣，增强团结协作意识。

教学重点

利用轴对称分析图形的形成过程、进行图案设计，发展学生的空间观念

教学难点

从数学角度理解生活中的轴对称现象、进行图案设计

教学设计

第一环节：图案欣赏，感受美

活动内容：利用微视频展现生活中各领域广泛存在的利用轴对称设计的图案（该环节中的微视频和第一节中的不同，此处可以结合学过的等腰三角形、线段、角平分线等呈现出突出各领域广泛存在的对称美的图形）。再过渡到剪纸上承接第二环节（课堂导入型微课）。

活动目的：让学生经历观察，感知生活中无处不在的轴对称现象，感受轴对称的美与和谐，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。

第二环节：动手操作，体验美

活动内容：

（一）、学生利用课前准备的彩纸、小刀动手制作“E”字形花边图案。

（二）、学生利用彩纸、剪刀动手折叠、剪裁，并在操作过程中体会轴对称的特点。

活动目的：通过一段简单的剪纸视频，让学生学会简单的剪纸操作，为后面的操作活动做好准备；活动（二）和活动（三）意在让学生在动手操作的过程中感知轴对称的特点，进一步体验数学来源于生活，应用于生活，与生活的紧密联系；同时感受我国民间剪纸艺术的博大精深和独特魅力。

第三环节：自主探究，解决问题

活动内容：

（一）、如果将正方形纸按上面方式对折3次（如图所示），然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？你能画出展开后的图形吗？

（二）、温故知新：复习轴对称的性质

（三）、自主探究：学生根据轴对称的性质探索作已知点关于某条直线的对称点的方法，教师引导学生总结作图方法。（此处嵌入微视频，指导作图）（知识复习型微课）

（四）、学生根据上述方法，作出活动（一）中的展开后的图形。

活动目的：活动（一）是上面问题的延续和拓展，学生在完成环节二的各操作活动后已经积累了一定的实践经验，此时提出是否能通过作图解决问题，符合学生的认知发展规律，设计时要求学生通过作图感知展开后的图形，意在让学生进一步理解轴对称的性质，同时完成从实践到理论的过渡。活动（二）和活动（三）通过对轴对称性质的复习，巩固学生对轴对称的理解，同时引导学生去探究作已知点关于某条直线的对称点的方法，从而为作已知图形的轴对称图形作良好的铺垫。

第四环节：动手动脑，创造美

活动内容：

（一）、展示生活中学生熟知的轴对称图案，指出它们的对称轴，并阐述图案所代表的意义。

（二）能力挑战：画出图中三角形关于给定直线的轴对称图形。

（三）动手动脑，创新设计

（1）给定图形：两个圆两条线段两个三角形，展开联想，设计一幅轴对称的图案，并阐述图案所表达的含义。

（2）自己设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图。

活动目的：通过展示生活中一些具有特定意义的图案，使学生体会简单的轴对称图案便能代表特殊的含义，感受轴对称在现实生活中的广泛应用和价值，并为学生利用轴对称进行图案设计做好铺垫。能力挑战一环对学生提出了更高的要求，考察了学生的应变能力，进而培养学生全面考虑问题的能力和勇于探索的精神。教师要引导学生注意当点在对称轴上或对称轴同侧异侧时，其对应点的情况。同时教导学生凡事都要有理有据，不能凭空想象。

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