數學步道在碇中

壹、設計想法

數學並不是數學家或是數學老師刻意發明出來刁難學生的，它可以是解決問題的強力工具；數學也不是要學生死背公式、拼命計算的問題，它可以是百變的腦筋急轉彎。由於深感學生學習動機日漸薄弱，從簡單計算、分析問題、思考判斷、邏輯推理及解決問題等，舉凡與「數學」二字扯上關係的問題，都讓許多學生聞之色變。

筆者於去年(93年)暑假參加數學深耕種子教師研習時得知數學步道教學活動後，便興奮地回到校內偕同數學教師們參與設計校園數學步道；經過上學期多次的討論、修正及試教後，終於完成屬於碇內國中的數學步道。此外，本教學活動亦成為下學期碇內國中數學領域之領域活動，活動成果於文後一併呈現。

貳、設計內涵

一、學生能力分析

(一)先備學習能力

1.學生能觀察出數列的規律，並點數出項數、指定項及計算數列的總和。

2.學生能進行歸納簡單的排列組合。

3.學生能使用工具進行簡易的估測。
4.學生能知道圓的直徑、半徑及圓心的意義。

(二)主題學習能力

1. 學生能知道數列的規律，並找出項數、指定項及數列總和。

2. 學生能嘗試歸納出簡單的排列組合。

3. 學生能嘗試解決一筆劃問題，並找出其規律。

4. 學生能嘗試解決八皇后棋盤問題，並找出其規律。

5. 學生能進行估測培養量感。

6. 學生能進行實測判斷操場跑道左右兩側是否為半圓。

(三)後續發展能力
1.學生改變對數學的成見，且發現生活處處是數學。

2.學生能透過討論解決問題，並分享自己的想法。

3.學生能以更寬廣的數學思考，解決生活中的問題。

二、教學目標

1.學生能利用數列的規律找出項數、第n項及數列級數。

2.學生能正確無誤地歸納出簡單的排列組合。

3.學生能透過嘗試錯誤解決一筆劃問題，並發現其規律。

4.學生能透過嘗試錯誤解決西洋棋八皇后問題，並發現其規律。

5.學生能透過估測培養量感。

6.學生能透過實測判斷操場跑道左右兩側與圓的關係。

三、對應的能力指標

四、活動設計架構

連結

參、教學設計

一、活動目標

1. 學生能察覺整齊排列的石磚之規律，並應用其規律解決數列項數、求第n項及數列級數問題。

2. 學生能正確無誤地找出爬樓梯(固定階數)所跨出步數的全部情形。

3. 學生能透過嘗試錯誤解決一筆劃問題(Hamiltonion graph)及一筆劃路徑問題(Hamiltonion path)，並解決進階的七橋問題。

4. 學生能透過嘗試錯誤解決西洋棋中四個皇后棋在4×4棋盤不相撞問題，並能

推廣至六個皇后棋在6×6棋盤不相撞、八個皇后棋在8×8棋盤不相撞問題。

5. 學生能利用自備工具估測旗竿高度及旗竿上繩索之長度。

6. 學生能利用自備工具檢驗操場跑道左右兩側是否為半圓，並能估測跑道的總長度及所圍草地之面積。

二、教學年級

國中一至三年級學生

三、教學節數

四節課，或依教師需要利用彈性課程時間每關一節課。

四、實施方法

(一)實施時間

利用寒假輔導課一天上午四節課時間，每兩關進行45分鐘，六關共135分鐘（約三節課）；闖關結束後回到教室內進行小組作業單填寫及上台報告，時間45分鐘（約一節課）。
(二)學生分析

本次教學活動對象為基隆市碇內國中二年級語文實驗班學生，全班38位同學，程度多為中上；其班級氣氛活潑，學生於課堂間願意發表與討論。由於活動進行過程為小組競爭模式，故學生配合度及學習動機頗佳。

五、活動流程

(一)第一關：跑道旁石磚步道

(二)第二關：跑道旁階梯

(三)第三關：棋盤方格廣場

(四)第四關：八皇后問題

(五)第五關：升旗台旁旗竿

(六)第六關：標準跑道？

(七)小組分享報告

六、評量方式

(一)闖關成績

每道題目後面的☆表示題目的難易度，☆數愈多難度愈高。累計答對題目的☆數，再加上關主的加減☆，即為小組的闖關成績。其中：50個☆-每位組員獎勵卡三張，外加珍奶一杯；45個☆以上-每位組員獎勵卡兩張，外加珍奶一杯；40個☆以上-每位組員獎勵卡一張，外加珍奶一杯。另外，榮獲精神總錦標之小隊每位同學皆可獲得精美小禮物。給予學生立即性的回饋，學生學習動機會強烈喔！

(二)總成績

依互評平均30%、活動過程表現20%、分組報告20%及書面報告20%比例，計算出各組的總成績，教師可將該成績納入平時分數計算。(評分表如附件一)

肆、教學省思

一、碇內國中李昕儀老師

本教學活動為93寒假輔導課針對二年級語文班的闖關活動，其後，本校數學領域於93下學期針對二年級（除語文實驗班外）辦理「數學步道在碇中」（活動計畫及辦法請參閱附件三），因競賽時間有限便將各關題目減量。或許是班際競賽的緣故，活動當天學生團隊合作氣氛更佳，許多巧思也在活動過程展現，讓許多教師對學生的優質表現讚不絕口！建議教師們設計校園數學步道時，可參考以下方式進行：

二、碇內國中陳俊榮老師

由於參加幾次研習都和數學步道相關，藉此闖關活動參與這個奇妙的教育方式。經過一個月左右的修改與激盪，六關雛型漸漸地書面化，並於寒假輔導課針對二年級語文班進行試驗，看看學生對這種學習方式的反應為何。
經過這次的闖關活動，我發現學生的「思考」及「創造力」不是教師們能夠預測的。透過數學步道活動的學習與表達，能讓教師看見學生更多的「想法」，並藉由書面化與影像化能看見學生在活動中成長與學習，我想這就是教育的目的與意涵之一。期盼自己能帶給學生更多類似的教學內容！

【附件一】手冊、作業單、評量表格

碇中數學步道-教師實施參考流程

1. 活動時間 四節課

2. 活動地點 碇內國中校園

3. 課前準備

   1. 將全班同學分六組，每組六至七人，並事先將教室座位分六組排好。

   2. 將第五、六關題目先發給組長，提醒小組所需之工具需自行準備。

   3. 向設備組借用投影機並裝設於教室內。

   4. 數位相機一台 (若有數位攝影機效果更佳!)

   5. 寶特瓶20個，於活動前置放於專科大樓廣場。

   6. 向設備組借用童軍教室，並整理出至少8×8的活動空間。

   7. 準備六個資料袋，其中包括： (第五、六關題目請於活動前發給學生)

(1)題目附作業單六份(2)空白投影片六張(3)油性筆三隻(建議不同顏色)

4. 活動流程

   	第一節課	第二節課	第三節課	第四節課
   第一、二小組	第一、二關	第三、四關	第五、六關	小組上台分享
   第三、四小組	第三、四關	第五、六關	第一、二關	小組上台分享
   第五、六小組	第五、六關	第一、二關	第三、四關	小組上台分享

5. 活動注意事項

   1. 請同學依照關主指示進行各關的活動，若有秩序不佳或小組成員不合作的情形，關主可依小組表現加減★。

   2. 關主將對小組上台分享表現進行同儕互評(如附件二)及教師評分(如附件三)，作為一次平時成績。

   3. 請老師於活動完畢後影印作業單，再於放學前發回；並於活動結束後一週內，每組繳交一份書面報告，內容包括：封面、作業單(共四頁)、活動後感想(至少500字)。

6. 獎勵方式

累計答對題目的★數，再加上關主的加減★，即為小組的總成績。其中：50個★-每位組員獎勵卡三張，外加珍奶一杯；45個★以上-每位組員獎勵卡兩張，外加珍奶一杯；40個★以上-每位組員獎勵卡一張，外加珍奶一杯。另外，榮獲精神總錦標之小隊每位同學皆可獲得精美小禮物喔!

7. 參考資料

   1. 沒有數字的數學，徐力行著，天下文化出版。

   2. 興雅國中數學步道，林壽福著，興雅國中出版。

數學步道在碇中-學生參考手冊

1. 活動時間 四節課

2. 活動地點 碇內國中校園

3. 課前準備

   1. 全班同學請分六組，每組六至七人。

   2. 第五、六關題目所需工具，請同學先行準備。

4. 活動流程

五、活動注意事項

1. 請同學們依照關主指示進行各關的活動，若有秩序不佳或小組成員不合作的情形，關主可依小組表現加減★。

2. 闖關全部完畢後，請將自認最滿意的一至二關之解題想法寫在投影片上，並派代表準備上台報告，每組5分鐘。

3. 關主將對小組上台分享表現進行同儕互評(如附件二)及教師評分(如附件三)，作為一次平時成績。

3. 活動完畢後請各組交回作業單，待老師影印後再於放學前發回。

4. 請於活動結束後一週內，每組繳交一份書面報告，內容包括：封面、作業單(共四頁)、活動後感想(至少500字)。

六、獎勵方式

累計答對題目的★數，再加上關主的加減★，即為小組的總成績。其中：

50個★-每位組員獎勵卡三張，外加珍奶一杯。

45個★以上-每位組員獎勵卡兩張，外加珍奶一杯。

40個★以上-每位組員獎勵卡一張，外加珍奶一杯。

另外，榮獲精神總錦標之小隊每位同學皆可獲得精美小禮物喔!

◎第一關：跑道旁石磚步道
校慶入場前，同學們緊張的在班級等候區集合，老師宣佈請同學依照編號(每列三位)站在石磚步道上等候入場。請同學們討論下面幾個問題：

1. 若同學按照編號1、2、3…由左向右排列，則第七列第二位同學編號是幾號？30號同學在哪個位置呢？(☆)

2. 續上題，請問第50列第二位同學編號幾號？101號同學在哪個位置呢？(☆)

3. 你有發現什麼規律嗎？(☆☆)

• 進階挑戰

1. 若同學第一列由左向右依序為1、2、3號，接著第二列由右向左依序為4、5、6號，第三列由左向右、第四列由右向左一直排列往後排列，則99號同學在哪個位置呢？ (☆)

2. 若同學第一列由左向右依序為1、3、5號，接著第二列由右向左依序為7、9、11號，第三列由左向右、第四列由右向左一直排列往後排列，則99號同學在哪個位置呢？ (☆☆)

校慶入場表演各班使出渾身解數，210班決定每位同學手中拿氣球，最後再一併施放。(請依班上實際人數回答下列問題)

3.若第一位同學拿1顆氣球，第二位拿3顆，第三位拿5顆，第四位拿7顆…依此類推，請問全班共需要準備多少顆氣球呢？(☆)

4. 若第一位同學拿1顆氣球，第二位拿2顆，第三位拿4顆，第四位拿8顆…依此類推，請問全班共需要準備多少顆氣球呢？(☆☆)

◎第二關：跑道旁階梯(共__階)

爬樓梯的方式因人而異，請討論以下幾個問題：
1.小杰爬樓梯一步爬一階，若他依著左腳、右腳、左腳、右腳…的順序往上爬，爬到樓梯頂踏出的是左腳還是右腳呢？(☆)

2.小安爬樓梯一步爬兩階，請問他共需爬幾步呢？(☆)

3.小俊爬樓梯依著一階、兩階、一階、兩階順序往上爬，請問爬到樓梯頂共需爬幾步呢？(☆)

4.若樓梯只有四階，則有多少種爬法呢？請寫下你的方法。(☆☆)

5.若樓梯只有五階，則有多少種爬法呢？請寫下你的方法。(☆☆)

• 進階挑戰

若一步最多可爬三階，則有多少種爬法呢？請重新回答第四、五題，並請寫下你的方法。(☆☆☆)

◎第三關：棋盤方格廣場

棋盤方格內的粉紅色通道皆可行走，每個轉角皆放置寶特瓶。請同學們討論以下幾個問題：(答案可能不止一種喔!)
1.你是否能走過每個瓶子且不重複呢？(出發點、終點相同) 請將你的方法畫下來。(☆)

2.你是否能走過每個瓶子且不重複呢？(出發點、終點不同) 請將你的想法畫下來。(☆☆)

3.請同學自己選定一個轉角放置障礙物(道路不通)，再重新回答第一題、第二題。(☆☆)

• 進階挑戰：七橋問題

在十八世紀，波羅的海沿岸有一座叫做哥尼斯堡的城市，城裡面有一座公園，就像這張圖一樣，有七座橋連接了兩個小島（圖一）。有人提出了一個問題：有沒有辦法一次走完七座橋，而且每座橋只經過一次？(☆☆☆)

• 第四關：八皇后問題

西洋棋中的皇后，其走法是橫、直及斜走，請同學利用教室大理石地磚，來模擬棋盤方格的情形。

你認為能否在一個4×4的範圍中，擺上四個皇后互不相撞呢？可以的話，請將你的方法畫下來。(☆☆)

你認為能否在一個6×6的範圍中，擺上六個皇后互不相撞呢？可以的話，請將你的方法畫下來。(☆☆☆)

你認為能否在一個8×8的範圍中，擺上八個皇后互不相撞呢？可以的話，請將你的方法畫下來。(☆☆☆)

◎第五關：升旗台旁旗竿

颱風來襲時不小心把學校旗竿上的繩索吹走了，請同學們利用事先準備好的工具，想辦法檢測以下兩件事：

幫學校估測旗竿的高度。(☆☆)

找出需準備多長的繩索才能順利將國旗升上去。(☆☆)

◎第六關：標準跑道？

標準的「籃曲式跑道」規格如下圖
(中央為長方形、左右兩側為半圓)，請同學們討論以下幾個問題：

1. 請問學校跑道有哪些地方不符合標準呢？請一一列出來。(☆)

2. 請估測跑道中央草地面積大約多少平方公尺呢？(☆☆)

3. 若草地需重新鋪上5公分厚的土，則需要多少體積的土呢？(☆☆)

數學步道在碇中

基隆市碇內國中 班級______ 第____組 小組成員__________________________

同儕互評表

教師分組評分表

【附件二】學生作品

第一關

第二關

第三關

第四關

第五關

第六關

【附件三】碇中數學步道計畫、辦法

基隆市碇內國中九十三學年度第二學期數學步道競賽計畫

1. 依據：
   九十三學年度第二學期學校行事曆。

2. 目的：
   藉由生活化的數學情境，讓學生藉由討論溝通、實際操作等方式，共同擬定策略，培養其合作解決問題的能力。

3. 比賽日期：
   九十四年四月十五日星期五第五節至第七節課。

4. 比賽地點：
   碇內國中校園。

5. 實施對象：
   本校二年級各班學生組隊參加，每隊四至六人，每班至少一隊。(210班不參與競賽)

6. 比賽辦法與內容：
   詳如附件。

7. 獎勵辦法：
   取比賽成績優異班級三名，由學校頒發獎狀及嘉獎乙次，以茲鼓勵。

8. 本計畫呈校長核可後實施，修正時亦同。

基隆市立碇內國中九十三學年度第二學期數學步道競賽辦法

1. 時間：94年4月15日(星期五)下午1:05至3:45

2. 比賽方式：

   1. 二年級各班(210班除外)皆組一隊參加，每隊4至6人。

   2. 各班完成報名後，派一名代表於4月8日(星期五)至教務處抽小隊編號籤。

   3. 設立六道關卡，每關25分鐘，依關主指示完成關卡後，將活動單填寫完畢並交回給關主，即完成闖關。

   4. 比賽結束後，六份活動單總得分最高之前三名可獲得獎狀及每位組員嘉獎乙次。

   5. 比賽結果將於4月18日(星期一)公佈於教務處旁公佈欄。

3. 活動流程：

   時間 隊別	1:05-1:15	1:15-2:05	2:05-2:55	2:55-3:45
   第一、二、三小隊	活動介紹—集合並說明闖關規則及注意事項	第一、二關	第三、四關	第五、六關
   第四、五、六小隊		第三、四關	第五、六關	第一、二關
   第七、八、九小隊		第五、六關	第一、二關	第三、四關

4. 比賽內容：

   1. 第一關—跑道旁石磚步道，共5道問題。

   2. 第二關—跑道旁階梯，共5道問題。

   3. 第三關—棋盤方格廣場，共5道問題。

   4. 第四關—八皇后問題，共3道問題。

   5. 第五關—升旗台旁旗竿，共2道問題。

   6. 第六關—標準跑道，共3道問題。

5. 工作分配：

   工作內容	協助活動處室或教師
   場地佈置、活動策劃	數學領域教師
   關主	張勝淇師(一二關)、林世傑師(三、四關)、李昕儀師(五、六關)
   活動過程拍照	鄭有容師
   當日集合參賽學生	生教組長
   製作學生獎狀	教務處
   參賽學生請假事宜	數學領域、學務處
   關主小幫手、大隊長	210班六位學生

6. 備註：

   1. 關主之任務為解說各關題目，並引導參賽學生解決問題。

   2. 參賽者如有作弊或不遵守活動規定之行為，關主可取消該隊闖關資格。

   3. 請210派班六位協助同學(三位大隊長、三位協助關主)，並於活動結束後給予表現認真者記嘉獎乙次。

七、附件：

報名表一份

二年級數學步道競賽報名表

※請於94年4月6日(星期三)前將報名表交回教務處。

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