北 京 师 范 大 学

信息技术与课程整合10班之数学步道作业

任课教师： 江丰光

上课地点： 教二204

2013年8月7日

第一小组

小组成员：蒋培杰 蒋蕊韩 王林林 刘杨 李宁 王传宝

题目：主楼有多大？（初中）

 主楼是我们学校标志性建筑之一，那么主楼的体积有多大呢？表面积有多大呢？

（感谢第八组同学的提供的有挑战性的问题，这个问题难住了我们，也激发了我们思考。）

我们的想法：

  要精确测得主楼的体积和表面积是不可能的。我们只能在给定误差内解决这个问题。如果要求的精确度不是很高的话，即便主楼是一个很复杂的建筑，我们用几何知识也可以求得，当然这是一个很耗时间的过程，绝非一两天能做到。而方法，不难，见附录。

  问题提得特别好，尤其是求主楼的表面积，这是一个必须研究的问题，因为这涉及到装修面积和费用。如果求得面积相对误差达0.1，从费用方面讲就相差很大了。所以，我们试图求得主楼表面积和体积的一个高近似度的值。

  然而，结果很不理想。我们查阅了不少文献，对于这个问题的研究实在不多，主楼的设计图纸我们也无法得到。“主楼内有多个办公室？办公室的体积等数据怎么得到？”这两个简单的问题我们都无法解决。

  所以，我们无法解决这个问题，至少目前没有办法。我们组没有办法，不代表其他组没有办法，我建议其他各组也尝试一下这个问题。

  我们不在意分数，所以我们也不介意按照对问题的解决程度来给分，我们不介意老师给我们一个很低的分数。用分数来衡量我们所做的探究是一种侮辱。我们很感谢第八组提供了这样的一个问题，使我们做了很多有益的思考和探索。

  但是如果可以的话，我们希望老师给我们一个好的分数，虽然我们组不在意分数，但是中国教育体制下分数高一些总是好的。在学习过程中，我们认真学习，积极参与，也努力实践，如果按这个维度给分，我觉得老师应该给我们满分，也应该给全班同学满分。

附录

考虑到初中生的认知水平，将主楼简化为一个规则的多面体。该多面体横截面简化为一个“凹”字，如图：

经仔细观察，认真思考，我们发现主楼的外表面和地面都有“长方形”，分为大小不同的三类，分别将其长和宽记为，，，，，。经过计数和测量，我们算得该几何体的相关数据，见上图。

由以上数据可得，表面积。（因底面积无法测量，这里的面积是侧面积）

体积。

经深入调查取证，并无主楼表面积和体积的官方数据，故无法检验所得结果的精确性。

第二小组

小组成员：武佩 蒋豆豆 李珍 马文俊 谈运章 任明月

数学步道：

从小东门步入师大，首先映入眼帘的是广阔的京师广场。在广场中有喷泉、旗杆等。请你测量广场中旗杆的高度。

想一想：你能测出主楼的高度吗？

解析：

1、测旗杆的高度：

方法一：在北半球同一位置、同一时间，物体的高度与其影子长的比值是确定的。所以，某位同学的身高与其影子的比值和旗杆的高度与旗杆影子长的比值相等。

测量数据，某同学身高166cm，影子长9.4步，旗杆影子长90步。设旗杆的高度为h，

则有，解得（cm），即（m），

所以，旗杆高度约为15.9m。

方法二：在旗杆的底部有一个控制按钮，使得国旗匀速上升至顶端，测出绳子的上升速度以及国旗升到顶端的时间，那么旗杆的高度就是速度与时间的乘积。

测绳速：选定初始位置，给绳子作上标记，经过5s，再标记一次，计算绳子上升的速度。

测时间：秒表计时国旗升到顶端的时间。

2、测主楼的高度：

方法一：测出主楼外面垂直墙面的方砖的种类以及高度，适当归类，考虑到眼睛不能准确辨别楼顶砖的数目，目测估计楼顶约5m。

数据：大白砖41块，每块约55cm，小灰砖10块，每块约35cm，设主楼高度为H，

则，

所以，主楼高度约为31m。

方法二：在主楼的四季厅内有整个学校建筑的模型，测出模型中主楼的高度，再乘以比例尺，即可得到楼高。

第三小组

小组成员：陈晓曙 杨晓韵 李杨 卫冰倩 唐斐 陆定彧

【所抽题目】北师大新乐群食堂一楼每日豆浆销售数量（桶为单位）与每日温度关系，并对新乐群一层给出合理性意见。

【具体解决方案】

1、数据收集

拿到此题，小组成员经过讨论，计划通过询问卖豆浆的工作人员，得到每日卖出豆浆的桶数，再通过网络查询得到每日中午与晚上的具体温度。

实际的考察、交流得知，每天在上午、下午各熬一次豆浆，上午熬的中午卖，下午熬的晚上卖。而且新乐群卖豆浆的工作人员对于每日卖出的豆浆量是没有统计的，只能凭长期经验，合理回想大致估计出在相应季节上午、下午分别熬多少桶豆浆并假设全部卖出。故而得到的数据较为笼统，据工作人员提供的数据，夏天、冬天豆浆生产数量（单位：桶）如下表所示：

由于北方春、秋两季一是时长较短二是气候最不稳定，卖豆浆的工作人员表示卖出的豆浆不好估计，不过凭长期经验，应该是介于夏、冬两者之间。

2、数据处理及分析

理想模型：如果可以拿到一年之中多天的豆浆销售量（单位：桶）及相应温度的数据，就可以绘制以温度为横坐标，豆浆销售量为纵坐标的散点图，观察两变量间的关系，如果确实存在较好的相关关系，我们可以进行数据拟合，用一个确定的函数关系来模拟、代表两变量间的关系，这样我们就可以根据第二天的天气预报，算出第二天上、下午的豆浆需求，给卖豆浆的工作人员提供很好的参考。但由于作业时间所限、数据之少，故而只能做出如下定性分析：

①通过表格及访谈可知，豆浆生产量与温度之间是存在着相关关系的，豆浆销售量是随着温度的降低而增加，不过总体变化幅度不是很大。

②通过表格可知，不论是夏天还是冬天，中午卖出的豆浆都比晚上卖出的豆浆多。

3、原因分析:

①夏天饮品选择范围广，水果丰富，故而减少了豆浆的售出量；同时，冬天喝豆浆可以祛寒暖胃，滋养进补，美容抗衰老更不用说了，所以冬天选择豆浆比较符合季节特点。

②学校课程较多、时间安排较紧，多数同学中午选择在食堂就餐再回寝室午休以备下午上课充满活力，而晚上在校就餐人数较中午而言少且不固定。所以中午卖出豆浆量比晚上多。

第四小组

步道——教二楼前孔子像三围的测量

小组成员：李鹏瑞 何召文 朱寒梅 曹轩 韩平 纪娜

原题再现：

北师大教二楼前耸立一尊高大的孔子像，请你想办法计算出孔子像的三围？（题目来自第5小组）

题目分析：孔子像坐落在一个近3米的高台上，再加上孔子像本身的高度，不可能进行直接测量。此外，孔子像双手在前呈作揖状，身穿长衫汉服，这使得他的臀围和腰围在外面看起来没有任何差别，这使得测量和估计没有任何意义。

问题解决：首先，对问题设计的三围概念进行小组讨论界定：三围，即胸围、腰围、臀围合称。由于对于孔子像腰围和臀围的估计没有意义（如上分析）。下面，设计可行方案计算孔子像的胸围：

1. 小组成员中选取男性成员一名，测量其胸围大小，之后再测量其作揖状胸围大小（包括两只上臂）。算出人体胸围占作揖状胸围的百分比，以此减小双臂对胸围产生的误差。

2. 购得小型孔子像一个，测量出小孔子像作揖状胸围。

3. 利用同一时间阳光下两个像的影子比（相似三角形原理），可得所求孔子像和小型孔子像比例大小。

4. 根据第（3）步中计算出的比例，计算可得校园内孔子像作揖状胸围大小。再根据第（1）步计算得到的胸围占作揖状的大小计算可得校园内孔子像的胸围大小。

题后反思：首先，题目的设计者并没有仔细观察校园内孔子像，对于穿着长衫汉服的孔子像来说，根本看不出他的臀围和腰围的。其次，由于时间关系，我们只能够给出解决问题的思路，并未最终实施，算是小组的一个遗憾吧。

第四小组全体成员敬上

2013年8月5日

第五小组

校园步道——教二楼建筑面积的测量

小组成员：蒋菊霞 钟锐 王学建 康文锋 角碧波 张湘君

出题组：第10组

完成组：第05组

测量方案：（1）进行实际丈量，估测计算而得；（2）依据师大地图及比例尺计算得到（考虑到误差较大，没有采用）；（3）去图书馆调查师大相关文献资料而得（今天图书馆闭馆，此法未能用上）

测量过程：

1. 画教二楼占地图形

参考老师课上所给地图及实地考察得到教二楼大致占地图形如下图所示，整个教二楼的占地图形可以看做两端两个全等的红色矩形与一个中间一个灰色矩形拼接而成，故S=2S₁+S₂。

2. 测量获取相关数据

(1)基本测量单位：A4纸标准长度a=29.7cm

(2)相关数据：（均参照A4纸而得出）

教二楼道里的地砖宽度：x≈59.4cm；教二楼前拾到的棍子长度：y≈50cm；39码的皮鞋长度：z≈28cm。

(3)丈量数据：

AB=18x=1069.2cm；EF=108x=6415.2cm；EH=27x=1603.8cm；AD=(61y+110z)÷2=3065cm.

（注：①将墙宽估计为a；②考虑到AD长利用x不好测出，遂寻找了另外两种测量思路并取了平均值以减少误差。）

3. 计算面积估计误差

S= 2S₁+S₂=2AB×AD+EF×EH=16842893.8cm²≈1684 m².

网上查得教二楼可用面积为6397m²，教二楼共有4楼，6397÷4≈1599 m².

误差：(1684-1599)÷1599×100%≈5%

这5%的误差何来？因为1599 m²是可用面积，而我们估算的6397m²是占地面积，如果加上走廊、墙体的占地面积，相信误差还会减少许多。故由此可知，本小组的测量是可靠的。

第六小组

小组成员：谷秋丽 宋瑜 师文龙 曾建涛 瞎源锋 高雷

题目：估算教二楼至西门的直线距离。

说明：此处未指定哪个西门，我们默认为大西门。

解题策略：我们借助A4纸，将教二门前地砖的块数与宋瑜同学的步数建立关系，然后通过教二到金声路的步数算出此段距离的长度，最后通过电子地图的比例及对应长度算出教二楼到西门的直线距离。

解题过程：记所求距离为，此段在地图上距离为。教二门中间至金声路中间距离为，此段在地图上距离为。步宽为，砖宽为，A4纸宽为。

由已测量数据，得

由相似关系，得

代入已知数据，解得

经手机百度，教二至大西门距离为,此计算较为接近，误差较小。说明此解题策略无误。

第七小组

小组成员：刘雪冰 买买提依明·麦合木提 曹明源 黄瀚元 朱勋 张坤

题目：测量京师广场的的木铎高度。

测量方法：

原理：利用两个相似三角形的对应边成比例且相等的知识可以解决这个问题。

问题解决：该问题可以抽象成为数学模型来解决。如下图 ，在阳光下，木铎与人均可以形成影子，从而可以构造相似的三角形，从而得解。木铎可抽象为线段AB，影子为EB；人抽象为CD,影子为ED。我们知道人的高度，因为我们都了解我们的身高。利用相应的原理，只需要测量EB与ED的长度，即可求出木铎高度AB。其实，我们不需要知道ED与EB的具体值，只需要知道它们的比值即可。因此，采用步量法来解决ED,EB的比值。

图

通过测量，得到，而人的身高为CD=1.9m（买买提同学的身高）。.所以，由公式得到 AB=11.176m。

测量结果：

木铎的高度为11.176m。

结论：

测量总是存在误差的，这是无法避免的，我们能够做的就是通过多次测量尽量减少误差。

第八小组

小组成员：刘小娅 吕良 张焕 任瑞 李静

木铎·钟声

问题：同学们，你们能利用手头上简单的工具估算出木铎地面的直径吗？

我测量出的直径是 。

解决方案：经过观察，我们组发现木铎地面不是一个圆形，而是一个椭圆，所以我们测量了木铎地面的长轴长和短轴长。

利用工具：A4白纸、手机

首先，我们发现木铎下面的瓷砖都是相同规格的正方形。为了确定瓷砖的规格，我们用A4白纸测量，瓷砖的边长约为A4白纸的两倍。所以我们断定瓷砖为60cm*60cm规格。木铎的长轴占据10块瓷砖，两端各余出一小部分，我们再利用A4白纸估算出余下的部分分别为10cm和15cm，所以长轴大约为6.25m。木铎的短轴占据6块瓷砖，再用A4白纸估算余下部分约为40cm，所以短轴约为4m。

综上，我们测量的结果为，木铎底面长轴为6.25m，短轴为4m。

第九小组

小组成员：次仁顿珠 李婷 应春风 赵梦颖 翁琳 崔绒

问题：测量西操场跑道内圈和外圈的长度差

解决方案：西操场是标准的400米跑道，共8条赛道（简图如下）。要测量内圈和外圈的长度差，可以通过测量400米赛跑中内外跑道的起跑线距离之差来得到。因为手头工具有限，我们利用一张A4纸来丈量这段距离的差，A4纸的长边长为29.7cm，经过估算，内外差一共有183段A4纸的长，故可计算得西操场跑道内圈和外圈的长度差为：0.297*183=54.6m。

后期我们又查阅了相关资料，标准跑道全长400米，跑道的弯道是半圆形，而且最内圈的半径是36米，每条跑道宽1.2米，现有8条跑道。 而且知道最内圈的半径为36米，所以只需先求出最内圈跑道的两个半圆弯道的周长和，然后用400米减去两个弯道的周长和，就得到直道的长。400-3.14×36×2≈174 174÷2=87 米，第四跑道的全长由第四圈的两个半圆弯道的和再加上两条直道的和得到，前面面已经知道了直道的长度是：87

第一 87×2+2×3.14×(36+1.2×0) ＝400

第二 87×2+2×3.14×(36+1.2×1) ≈408

第三 87×2+2×3.14×(36+1.2×2) ＝415

第四 87×2+2×3.14×(36+1.2×3) ≈423米

第五 87×2+2×3.14×(36+1.2×4) ≈430米

第六 87×2+2×3.14×(36+1.2×5) ≈438米

第七 87×2+2×3.14×(36+1.2×6) ≈445米

第八 87×2+2×3.14×(36+1.2×7) ≈453米

故标准400米跑道内圈和外圈的长度差为53m，与我们的测量结果近似，故说明我们的估算方法基本正确。

第十小组

小组成员：宋智 丁兰花 王静 杨兴学 格桑央吉 曹莹

饮水机够用吗？

出题：第三组 解决：第十组

本校为了解决教九楼学生饮水问题，对每层安装两台饮水机，请你做实验或观测，算算看，课间10分钟，能否满足学生的需求？

1.测量一分钟能接水多少？

2.学们的水瓶平均容积是多少？

3.教九一个上午上课的学生

进阶题：

1. 估算一个课间200人要接水，能否满足？

2. 一个上午饮水机够用吗？

解答：

1. 实际试验饮水机的出水量：

工具：用带有刻度的水瓶和手机上的秒表

做法：分别在不同的饮水机出水口，并记录时间

计算：（175/10+303/10+400/6.5+400/5.7+285/4.4+175/5.6）/6=45.75

45.75*60=2745 ml/min

结果: 计算出1分钟平均出水2745ml.

2. 观察同学们的水瓶，选取同学最多使用规格的水瓶，容积为：500ml

3. 计算教九一楼的教师座位数：

120+120+118+118=476

估计每天的平均入座率：80%

教九一层实际上课人数：476*0.8=380

进阶题:

1. 200人用水的需求量：200*500=100000ml

以教九一层为例：教九一楼有两台饮水机，每台有三个出水口，共六个出水口，首先理论上，课间十分钟的出水量为：2745*10*6=164700 ml >100000 ml,因此理论上能够满足。但是实际上考虑到，学生接水的间隔时间，和饮水机在三个出口同时出水时，出水量会显著下降，还有随着水箱内水的减少，出水量也会明显下降。

因此，我们假设每两个人接水间隔为1s,估计总间隔为3min,假设流水速度线性递减，最中减少到均值的一半，所以实际能供水量估计为：

出水量变化：y=-137.25x+2745

(-137.25x+2745)dx*6*0.7=86467.5<100000

因此若一个课间教九一层有200人接水，饮水机是不够用的

2.一个上午的有四个课间，如果380每人都去接一次水，饮水机是够用的。

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