1．已知点A(2, 0), B(0, 6), O为坐标原点. (1)若点C在线段OB上, 且∠BAC=45°, 求△ABC的面积;(2) 若原点O关于直线AB的对称点为D, 延长BD到P, 且|PD|=2|BD|.已知直线l:ax+10y+84-108=0经过P, 求直线l的倾斜角。

2．圆的方程为x²+y²－6x－8y＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。

3．已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。动点P满足：。

(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；(2)当的最大值和最小值。

4．已知圆M：2x²+2y²－8x－8y－1＝0和直线l：x+y－9＝0过直线 上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上。

⑴当A的横坐标为4时，求直线AC的方程；⑵求点A的横坐标的取值范围。

5．已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。

6．某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米. 问：该设备能否水平移进拐角过道？

 

参考答案

1．解：(1)依条件易知k_AB=-3. 由tan45°=,得k_AC= -.∴直线AC: y=-(x-2).

令x=0,得y=1,则C(0, 1). ∴S_△ABC=|BC||OA|=5.

(2)设D点的坐标为(x₀, y₀),∵直线AB: 即3x+6y-6=0,

∴. 解得x₀= y₀=.

由|PD|=2|BD|, 得λ=. ∴由定比分点公式得x_p=.

将P()代入l的方程, 得a=10. ∴k₁= -. 故得直线l的倾斜角为120°

2．解：x²+y²－6x－8y=0即(x－3)²+(y－4)²=25，设所求直线为y＝kx。

∵圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3， ∴ ，

∴，∴。 ∴所求直线为y或。

3．解：(1)设动点的坐标为P(x,y),则＝(x,y－1)，＝(x,y+1)，＝(1－x,－y)

∵·＝k||²，∴x²+y²－1＝k[(x－1)²+y²] 即(1－k)x²+(1－k)y²+2kx－k－1=0。

若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线。

若k≠1，则方程化为：，

表示以(－,0)为圆心，以为半径的圆。

(2)当k=2时，方程化为(x－2)²+y²=1。∵2＋＝2(x,y－1)＋(x,y+1)＝(3x,3y－1)，

∴|2＋|＝。又x²+y²＝4x－3，

∴|2＋|＝　∵(x－2)²+y²＝1，∴令x＝2＋cosθ，y＝sinθ。

则36x－6y－26＝36cosθ－6sinθ+46＝6cos(θ+φ)+46∈[46－6,46＋6]，

∴|2＋|_max＝＝3＋，|2＋|_min＝＝-3。

4．解：⑴依题意M（2，2），A（4，5），，设直线AC的斜率为，则,解得 或，故所求直线AC的方程为5x+y－25＝0或x－5y+21＝0；

⑵圆的方程可化为(x－2)²+(y－2)²＝，设A点的横坐标为a。则纵坐标为9－a；

① 当a≠2时，，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，

则可得，直线AC的方程为y－(9－a)＝(x－a)

即5x－(2a－9)y－2a²+22a－81＝0，

又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即，化简得a²－9a+18≤0，解得3≤a≤6；

②当a＝2时，则A（2，7）与直线 x=2成45°角的直线为y－7＝x－2即x－y+5＝0，

M到它的距离，这样点C不在圆M上，还有x+y－9＝0，显然也不满足条件，故A点的横坐标范围为［3，6］。

5．解：圆C化成标准方程为

　　假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）

　　由于CM⊥ l，∴k_CM×k_l= -1 ∴k_CM=， 即a+b+1=0，得b= -a-1 ①

直线l的方程为y-b=x-a，即x-y+b-a=0 CM=

∵以AB为直径的圆M过原点，∴

　　，∴　②

　　把①代入②得　，∴

当此时直线l的方程为x-y-4=0；

当此时直线l的方程为x-y+1=0

故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0

 

6．解：由题设，我们以直线OB,OA分别为x轴，y轴建立直角坐标系，问题可转化为：求以M(3,3)点为圆心，半径为1的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截的线段 AB长的最小值。设直线AB的方程为，∵它与圆相切，

 

∴ ……（1） ，

又∵原点O(0,0)与点M(3,3)在直线的异侧，

∴ ，

∴（1）式可化为 ……（2）

下面求（a>0,b>0）的最小值。

设代入（2）得，…（3）

再设t=sinθ+cosθ,.,代入（3）

得 ，,记

这里f(1)=－4<0, 在内有解

。这时

这说明能水平移过的宽1米的矩形的长至多为，

故该设备不能水平移进过道。

另解：

∴r(t) 在上是减函数，。