两种纪年的换算和星期数的求法

        现在，人们只要查看万年历，就可以知道某一年的公农历两种纪年的结果，还可以知道某日是星期几。例如，1949年是己丑年，该年的10月1日是星期六；张之洞卒于1909年，这一年是己酉年（宣统元年）。

        但是，万年历不是随手可得。上述问题知其一可否求其余？答案是可以。

一、公历纪年与农历纪年的换算

        现在世界上通用的公历，也叫格里哥里历，在我国又叫阳历（我国古代认太阳为阳、月亮为阴）。它根据太阳绕地球一周所用的时间三百六十五又四分之一天，经过长期不断地改进演化，最终由罗马教皇格里哥里十三世于1582.10.15日，在原凯撒历基础上革新颁布实行。英国及其殖民地国家自1752.9.14日起实行。

        与公历同排在我国日历上的农历，是我们国家所特有的一种“干支纪年历”， 又叫阴历。它是把一个朔望月，也就是相邻两次朔月（或望月即满月）的时间间隔二十九点五三零六天，作为一个农历月，采用十“天干”与十二“地支”搭配成60年一循环的周期性“干支纪年历”。为了便于理解和运用，我们给出天干地支搭配表如下：

        按照上表的次序，每年用一对干支表示，这种纪年法叫做“干支纪年法”．从古代文献来看，干支纪年至迟在东汉初期已经普遍使用，直至今天仍然采用．

       干支纪年在我国历史学中广泛使用，很多历史事件的年代常用它来表示．例如，甲午战争、戊戌变法、辛亥革命等等．

        公历纪年与干支纪年，可以借助于“干支表”（如不记住，用时需要自己编排）和历史知识，通过公式x = n＋3＋60 m进行换算，其中，x 是公历纪年数，y 是表中干支纪年序数，m是绝对值不超过60的合适整数．

        该公式可用文字语言表述为：公元年数，等于相应的干支年序数加3再加60的整数倍，其中60是干支纪年最小正周期所含的年数。

        因为公元纪年的开头年即公元元年又即公元1年是辛酉年，其干支序数为58，再过“3”年恰好进入下一个干支周期的开头年甲子，所以公式中有“＋3”。

例１. 辛亥革命发生在公历哪一年？

        解：辛亥年的干支序数n = 48 ， 根据历史知识知道，事件大致发生在一百年左右，故取m = 31 ，则公历年数为：x = 48＋3＋60×31 = 1911.

例2. 求２０１０年的干支

        解：x = 2010 ，选取合适的整数，使整数n在1～60范围内取值，故可取 m = 33 ，则 n = 2010 - 3 - 60 * 33 = 27．由干支表查出相应的干支是庚寅．即 2010 年是庚寅年．

例3. 求公元前221年的干支.

        解：天文纪年法规定，公元元年记为1年，由此公元前一年记为“0年”、公元前二年记为“－1”年、依次前推. 按此规定，公元前221年为“－220年”，取m = －4 ，则干支年序号为：n = －220－3－60×（－4）= 17 ，查表知为庚辰年，这是秦始皇完成统一大业称帝的那一年。

        读者不难验证，本文开头提到的建国年和张之洞卒年的两种纪年的正确性。

        可见，这种不同纪年相互验证的方法，对考证历史事件发生的年代和历史人物的生卒年龄等，都具有重要的实际应用价值。

二、求星期数

        如果我们得知了某日的公历年月日，就可以计算出其星期数，即星期几。这在司法案件查审等领域也是件极有意义的工作，下面我们就给出计算公式。

        已知公历A年B月C日，则该日对应的星期数是，下式计算结果除以7所得的余数：

C＋[（13M－1）/5]＋Y＋[Y/4]＋[X/4]－2X.

        其中，[N]表示不超过N的最大整数；当B = 1或2时，M = B＋10 ，当B = 3～12时，M = B－2 ；X、Y满足100X+Y=A，且X、Y为不超过100的自然数.

例1. 1949.10.1日是星期几？

        解：C = 1，B = 10，故M = 8，100X+Y = 1949，解得X = 19，y = 49，

        C＋[（13M－1）/5]＋Y＋[Y/4]＋[X/4]－2X.

     = 1＋[（13×8－1）/5]＋49＋[49/4]＋[19/4]－2×19

     = 1＋20＋49＋12＋4－38

     = 48

        48 = 7×6＋6，所以是星期六.

例2. 2010.12.31是星期几？

        解：C = 31，B = 12，故M = 10，100X+Y = 2010，解得X = 20，y = 10，

        C＋[（13M－1）/5]＋Y＋[Y/4]＋[X/4]－2X.

     = 31＋[（13×10－1）/5]＋10＋[10/4]＋[20/4]－2×20

     = 31＋25＋10＋2＋5－40

     = 33

        33 = 7×4＋5，所以是星期五.

        值得说明的是，星期几的计算公式，只适用于现行公历实行日之后的日期，即一般适用于1582.10.15日以后，英国及其殖民地国家适用于1752.9.14日以后. 反之，如果只知道某日是星期几，不能确定其年月日，要确定还需要多个其它条件，那是一件比较麻烦的事情。关于本公式的合理性，有意深入探讨者，可以阅读本文末所列参考书2.

参考资料：

①《数学的源与流》，张顺燕编著，高等教育出版社2000.9月第一版.

②《初等数论》，潘承洞、潘承彪著，北京大学出版社2003.1月第二版.