不等式中的数学思想

山东 马光波

　　数学思想是数学的灵魂，抓住了它，就找到了打开智慧之门的金钥匙．本章学习过程中应注意以下几种思想．

　　一、类比思想

　　类比是对相近事物进行比较，达到利用已有知识来认识新知识的目的．一元一次不等式与一元一次方程有着千丝万缕的联系，因此在学习不等式时要注意与等式和方程进行类比，从中发现它们的相同点和不同点，以加深理解和记忆．

　　例如，在对不等式性质的学习中，通过与等式性质的比较，不难发现两者的主要不同点在于两边同乘以一个负数时，等式仍然成立，而不等号的方向要改变．这也是在对不等式变形时需要特别注意的地方．

　　二、数形结合思想

　　数形结合思想是将代数的一般性与几何图形的直观性结合在一起的一种重要的数学思想．如，用数轴表示不等式的解集，利用数轴求不等式组的解集等，都是数形结合思想的体现．

　　例1、解不等式组

　　分析：此题是解一元一次不等式组，它必须找出2个解集的公共部分，通过将每个不等式的解集表示在数轴上，认真观察来找出公共部分．

　　解：由①得：x≥-3，由②得：x<4

　　将①、②的解集表示在数轴上，如下图:

　　则不等式的解集为-3≤x<4．

　　三、分类讨论思想

　　分类是当数学问题的结果不唯一时将数学问题按某种标准分类作答的一种思想方法.如，在解不等式(尤其是含字毋系数的不等式)时，往往要对系数进行讨论.

　　例2、解关于x不等式(a-1)x≥a-1

　　分析：因为a-1的取值情况不清楚，所以此首先应分类讨论，再相应去分母．

　　解：当a-1>0时，解不等式得：x≥1

　　　　当a-1<0时，解不等式得：x≤1

　　　　当a-1=0时，不等式解集为任意实数

　　四、转化思想

　　无论一元一次不等式还是一元一次不等式组，两者的解法中都渗透着同解转化的思想，把未知的转化为己知的、可求解的式子，这也是解决数学问题的一种重要方法．

　　摘自：http://mathschina.com/