多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

　　1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

　　(1)a²-b²=(a+b)(a-b)；

　　(2)a²±2ab+b²=(a±b)²；

　　(3)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

　　(4)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　(5)a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²；

　　(6)a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)；

　　(7)aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+…+ab^n-2+b^n-1)其中n为正整数；

　　(8)aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…+ab^n-2-b^n-1)，其中n为偶数；

　　(9)aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…-ab^n-2+b^n-1)，其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　例1 分解因式：

　　(1)-2x^5n-1yⁿ+4x^3n-1yⁿ⁺²-2x^n-1yⁿ⁺⁴；

　　(2)x³-8y³-z³-6xyz；

　　(3)a²+b²+c²-2bc+2ca-2ab；

　　(4)a⁷-a⁵b²+a²b⁵-b⁷．

　　解 (1)原式=-2x^n-1yⁿ(x⁴n-2x²ny²+y⁴)

　　　　　　　=-2x^n-1yⁿ[(x²n)²-2x²ny²+(y²)²]

　　　　　　　=-2x^n-1yⁿ(x²n-y²)²

　　　　　　　=-2x^n-1yⁿ(xⁿ-y)²(xⁿ+y)²．

　　(2)原式=x³+(-2y)³+(-z)³-3x(-2y)(-Z)

　　　　　 =(x-2y-z)(x²+4y²+z²+2xy+xz-2yz)．

　　(3)原式=(a²-2ab+b²)+(-2bc+2ca)+c²

　　　　　＝(a-b)²+2c(a-b)+c²

　　　　　=(a-b+c)²．

　　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

　　原式=a²+(-b)²+c²+2(-b)c+2ca+2a(-b)

　　　　=(a-b+c)²

　　(4)原式=(a⁷-a⁵b²)+(a²b⁵-b⁷)

　　　　　 =a⁵(a²-b²)+b⁵(a²-b²)

　　　　　 =(a²-b²)(a⁵+b⁵)

　　　　　 =(a+b)(a-b)(a+b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

　　　　　 =(a+b)²(a-b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

　　例2 分解因式：a³+b³+c³-3abc．

　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

　　分析 我们已经知道公式

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

　　的正确性，现将此公式变形为

a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)．

　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　　解 原式=(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc

　　　　　 =［(a+b)3+c³］-3ab(a+b+c)

　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)²-c(a+b)+c²]-3ab(a+b+c)

　　　　　 =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)．

　　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

　　a³+b³+c³-3abc

　　

　　　

　　显然，当a+b+c=0时，则a³+b³+c³=3abc；当a+b+c＞0时，则a³+b³+c³-3abc≥0，即a³+b³+c³≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

　　如果令x=a³≥0，y=b³≥0，z=c³≥0，则有

　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

　　例3 分解因式：x¹⁵+x¹⁴+x¹³+…+x²+x+1．

　　分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x¹⁵开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式aⁿ-bⁿ来分解．

　　解 因为

　　x¹⁶-1=(x-1)(x¹⁵+x¹⁴+x¹³+…x²+x+1)，

　　所以

　　

　　说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．